Excertos de "PITÁGORAS", de Ward Rutherford
Por mais importante que tenha sido a oitava musical, acho mais provável que tenha sido um fator que convenceu os pitagóricos da absoluta primazia dos números, ao invés de sua causa inicial. E também acredito que devem existir outras provas que, quando menos, confirmam sua crença, que os estudiosos têm até agora ignorado.
A palavra grega harmonia foi apenas gradualmente adquirindo uma conotação musical exclusiva. A princípio significava a maneira como os componentes do todo combinavam entre si, como por exemplo a maneira em que as pernas e o encosto de uma cadeira combinam com o assento. Algumas vezes era usada também para descrever as próprias juntas ou seus encaixes (na verdade, em idioma grego moderno, armos significa junta). Mas as partes de uma cadeira só combinam entre si de maneira a cumprir sua função pretendida quando são tomados cuidados especiais quanto a suas medidas. Assim, o desenho de uma cadeira, como qualquer carpinteiro sabe, pode ser feito nos termos das dimensões de suas respectivas partes, ou seja, por meio de números. Os pitagóricos costumavam estudar determinadas atividades práticas, como a carpintaria, por exemplo, para realizar muitas de suas ilustrações, e o esquadro dos carpinteiros era uma das ferramentas usadas em seus estudos aritméticos.
No entanto, as dimensões e medidas tornam-se ainda mais críticas quando, ao invés de objetos estáticos, consideram-se aqueles empregados no movimento, como as rodas raiadas. A menos que cada uma das partes seja medida e construída dentro de limites rígidos de tolerância, a roda não será circular. Mais importante ainda é o fato de que as rodas nem sempre são usadas sozinhas, mas sim em pares, exigindo que ambas tenham as mesmas medidas exatas.
Como a função da roda é o movimento, o universo também mostra o movimento em todas as suas partes, desde os próprios planetas até o ritmo das marés e o andar dos animais, ou os movimentos infinitamente lentos das plantas em crescimento. Isto sugeriria que, da mesma forma que as dimensões reinavam no domínio dos artefatos humanos, também predominavam no restante da criação, no Cosmo. Por conseguinte, um dos objetivos da pesquisa pitagórica sobre os números poderia ser a descoberta das dimensões universais.
Mas as dimensões representam mais do que uma mera função. Voltando ao exemplo da cadeira, além da utilidade, ela tem de ser atraente para o olhar. Tem de mostrar proporção, uma questão de grande importância para os gregos, inigualáveis no uso da proporção. Chegaram a ela a partir da chamada Seção Áurea, que pode ser encontrada dividindo-se uma linha em duas partes desiguais, de modo que a parte menor estará, em relação à maior, na mesma proporção que a maior em relação ao todo. Por exemplo, se uma linha de 8 unidades é dividida na marca de 5 unidades, restando assim 3 unidades, então 5:8 estará mais ou menos na mesma proporção que 3:5.
Apesar de o cômputo preciso da Seção Áurea implicar uma matemática comparativamente complexa, existe um método simples e confiável de encontrá-la que é conhecido e usado pelos artistas até os nossos dias. O lado de qualquer quadrado relaciona-se a sua diagonal nas proporções da Seção Áurea. Por exemplo, se traçarmos uma diagonal por um quadrado de 5x5, descobriremos que tem mais ou menos 8 unidades de comprimento (ou, mais exatamente, 7,071067). Se esta medida for usada como largura e 5 como altura, a figura resultante será o chamado Retângulo Áureo.
A importância que os gregos davam à Seção Áurea e ao Retângulo Áureo é manifestada em inúmeras de suas obras de arte, entre as quais o próprio Parthenon.
No entanto, tampouco se trata de um mero artifício artístico, de uma forma útil de se chegar a proporções satisfatórias na escultura ou na arquitetura. Na verdade, a Seção Áurea é a relação que pode ser encontrada em tudo na natureza, desde as pétalas de uma flor até o formato de pequeninos animais marinhos. Até mesmo as voltas da modesta concha dos caramujos devem seu formato a ela. No corpo humano, para citar apenas alguns exemplos ao acaso, temos a mão em relação ao braço, a cabeça em relação ao corpo, e as características do rosto todas em proporções de seção dourada. O famoso desenho de Leonardo que mostra um homem nu com os braços estendidos, colocado dentro de um círculo, é mais uma tentativa de mostrar a sua representação dinâmica. Basta que uma pessoa olhe para sua própria mão para encontrar uma ilustração perfeita disso, pois as duas seções superiores do dedo indicador relacionam-se com todo o dedo nessa proporção precisa.
A primeira pessoa a enunciar a Seção Áurea como cânon foi o escultor Polyclitus (século V a.C), e ela por certo era conhecida de Platão, que usava as fontes pitagóricas com toda a liberdade. De seus cinco chamados sólidos matemáticos, o icosaedro, de vinte faces, e o dodecaedro, de doze faces, só podem ser construídos a partir do uso da proporção de seção dourada. Esta proporção por certo já estava em uso muito antes dos tempos de Platão ou de Pitágoras. Também era conhecida fora da Grécia, já que é encontrada na arquitetura egípcia, como é o caso do túmulo de Ramsés IV (falecido em 1160 a.C).
Seria difícil acreditar que os pitagóricos pudessem desconhecê-la, e há indícios de que a conheciam bastante bem. Antes de mais nada, eles também se interessavam pelos cinco sólidos matemáticos. Como acabamos de ver, a Seção Áurea pode ser alcançada traçando-se uma diagonal através de um quadrado, dividindo-o assim em dois triângulos retos, forma que, como sabemos, era uma das preocupações de Pitágoras. A última pista é que o cálculo da Seção Áurea envolve o número cinco. Sua fórmula matemática é: raiz quadrada de 5 + 1 sobre 2 é igual a 1,618. Cinco era um dos números sagrados do pitagorismo. A estrela de cinco pontas, ou pentágono, sempre associada com a magia, e que também exige a proporção da seção dourada para sua construção, era um dos mais importantes símbolos pitagóricos.